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除法【即商法】-[清]胡煦撰《周易函書?約存》

胡煦| 易經注解| 2023-02-14 20:38:47| 0

除法【即商法】

術曰:有實,有法,有商。別列實數,以法數依號查籌,從左向右,齊列于諸籌九格內。查橫行數之等于實數,或略少于實數者,在第幾格即是初商數。如在第一格,即一為初商也。次以查得之數減其實數,已盡則止一商,如未盡則有再商。即再查橫行內數之等于存實,或略少于存實者,在第幾格即是再商數。又以查得之數減其存實,如前又未盡,則更有三商。倘再商已除,實雖未盡,而次位無實,則商有○位,即作○以當次商。再以存實于格內查之,若至餘實數少于法數,是為不盡法,當命分之。

凡除以所分之物為實。今欲作幾分,分之為法。法與實須審定,不可倒置。如有糧若干,給若干人,則當以糧為實,以人之數為法除之。蓋糧數是所分之物,人數是用以分之之法也。

凡書商數,皆與減數第一行相對,若所減第一位是○,則?作○,于原實首位上而對之,此定位之根也。

定位法:除畢,以商得數與原實對位求之,皆如法首位之上一位,命為單數【歸於法前,得零古法,實如法而一是也】。然此有二法,有法少實多者,從原實內?法首位認定,逆轉上一位,命為單數【如米則為單石,錢則為單文】既得單數,則上而十百千萬,下而分秒忽微,皆定矣,此為正法。有法反多而實反少者,乃變法也,法從原實首位逆遡而上,至法首位止,又上一位,命為單數【此是虛位,借之以求實數】,既得單數,乃順下求之,命所得為分秒之數。

一位商式:三百二十五兩,六十五人分之,問各若干?曰五兩。

別列三百二十五兩為實,以六十五人為法。查六五兩籌,左右齊列,何格數與實相等?一格至四格皆少,五格內自左向右曰三,二五適等,即五為商數也。

如太陽每歲行天三百六十度,分為七十二候。每候幾何度?曰每候五度。此欲分七十二分,當以七二為法,用兩算。

先列三百六十度為實,次檢七二兩籌為法,視何格內有三六○與相同,今在五格,則商作五。又查所減第一位是三,將商數五對三字書之,此法少于實也。宜于原實內?十度位,即法首位也。法首再上一位為單度,定所得為五度。

假令實是三千六百,則所得為五十度。此亦法少于實,法亦于原實內?法首十位,再上一位為單位,單位空,?作圈,再上一位是十度,定所得為五十度。用籌同而得數迥異,定位之法所以當明。

二位商式:三千三百二十五兩,九十五人分之,問各若干?曰三十五兩。

列三千三百二十五兩為實,九十五人為法。列籌二,籌橫數止三位,須截實上三位曰三三二,作三百三十二,於格內查之,至三格自左向右曰二八五,【中位一七併八】作二百八十五,略少於實數,四格則多矣。用三為初商,相減餘四十七,再以餘實四七及截外之五作四百七十五,查至五格四七五,【二五并七】適等。用五為次商。

如皇極經世,一元共十二萬九千六百年,分為十二會,共幾何?曰:每會一萬○八百年。

如圖列實,檢一二兩籌,第一行是○一二,商作一數,除實一二,尚餘九六。至第八行得○九六,商作八,恰盡。又因所減數是○一二,故于實首位?作圈,而以商得一,對此商位書之,此定位之根。次所減亦是○九六,故以商得八,進位書之,以暗對其○因法以十為首,則十字之上方是單位,數至一,恰當萬也。

三商式:如有水輪,每日共轉二千二百四十四周,一日十二時,每時幾何轉?曰每時一百八十七,此亦欲分為十二也。故用一二兩籌檢籌,第一行是○一二商,一減,實一千二百,餘一千四十四。次檢籌,第八行是○九六商,八減,實九百六十,餘八十四。末儉籌,第七行是○八四商。七法以十為首,則十上一位為單數。初商數對所減籌第一位,因初商是○一二,故遂以一字對書之。

商當有○式:三十二萬三千八百七十六兩,五百三十八人分之,問各若干?曰六百零二兩。

列實查籌。三籌橫數止四位,截實左四位,曰三二二八,作三千二百二十八。查至六格,自左向右,曰三二二八,作三千二百二十八,畧少于實數,七格則多矣。用六為初商,相減餘一十,以餘實一○,及截七六作一千零七十六,此乃次位無實也。次商當作○竟不除實,餘實仍是一千零七十六。查至二格,一零七六適等。用二為三商,若次位、三位俱無實者,即一連兩商,皆當作○。

法有○位式:假如布二萬一千七百六十八丈,給與九百○七人,各幾何?曰:每人二十四丈,此欲分為九百○七分也,故以九籌○籌七籌為法。檢籌第二行一八一四,商作二,蓋一格本少,自二格以下皆多,唯第二格略少于實數,故商二。減實一萬八千一百四十,尚餘三千六百二十八丈,減至第四三六二八恰盡,故又商四。因法首是百,故百上為單位,知為二十四丈以上,皆法少於實,故法首在原實中,乃本位也。

法多實少式【即除分秒法】:假如銀五百一十二兩,給六百四十人,各若干?曰:每人八錢。解曰:凡不能成一單數者,皆分秒也。故斤下有兩,兩下有錢,錢下有分,分下有釐,釐下有毫零。以兩為主,以兩為主,則兩為單位,而錢為兩十之一。八錢即十分兩之八,此欲分為六百四十分也。故以六四兩籌為法,檢籌第八行恰盡,故商八。又所減首位不空,故商數對之。定位法曰:此法多于實也。?法首位百逆上,一位是兩,二位空,則知是錢。

又式:如饑民四十八萬口,賑米三千六百石,各得若干?曰每口七合五勺,此人分米也。故以四十八萬為法,列四八兩籌,檢籌第七行是三三六,初商七,餘二百四十石。次檢籌第五行是二四○次商五,恰盡。定位法于原實內,?法首位,而原實內無十萬,只有千,虛進一位?萬,又進一位十萬,十萬者,法首位也。再上一位得零,是單石,石位○,順下斗升俱○,知所得為七合五勺。

以上兩例皆法多于實者,其法首位或在原實中,必原實首位也。或不在原實中,則于其原實上幾位也。要之皆不能滿法,其所得必為分秒。

法多實者,實乃零數,法乃整數。假如有銀四百五十六兩,而千百十人分是也。

實多法者,法乃零數,實乃整數。假如有銀四百五十六兩,而有二三十人分也。

法首位者,法首位之數也。若法首是十,即于實之十位上為法首位。若法首是百,即是實之百位上為法首位。法首位上一位是單者,如實之十數是法首位,而十上之百數位即為單位也。實之百數是法首位,而百上之千即為單位。

實不盡式:二千三百三十六兩,九十五人分之,問各若干?曰三十五兩,餘實一十一兩。

列實查籌。二籌橫數止三位,截實左三位曰三三三,查至三格自左向右曰二八五,略少于實數,用三為初商,相減餘四八,以餘實四八及截外六作四八六,查至五格四七五,略少于餘實,用五為次商,相減尚餘一十一,為不盡數也。

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